Face à La conjecture de Syracuse

En mathématiques, on appelle conjecture une assertion qui a été supposé vraie, mais qui n’a cependant jamais été démontrée comme vrai, ni même réfutée. Parmi les conjectures les plus célèbres on pourrait citer :
## Le problème P=NP (un des 7 problèmes mathématiques du millénaire)
## La conjecture des nombres parfaits
## Le célèbre « Dernier Théorème de Fermat », démontré en 1995 par le mathématicien anglais Andrew WILES
## L’hypothèse de Riemann, qui fait aussi parti des 7 problèmes du Millénaire classé par le Clay Mathematics Institut
## La conjecture de Syracuse ou encore « problème 3X+1»
## ….On pourrait en citer bien d’autres, il en existe un tas.
On va s’intéresser ici à la conjecture de Syracuse, qui a été conçue vers les années 1928 par le mathématicien allemand Lothar Collatz (6 juillet 1910, Arnsberg, Westphalie — 26 septembre 1990, Varna, Bulgarie). D’ailleurs la conjecture de Syracuse s’appelle également « Conjecture de Collatz ». Le raisonnement proposé par Collatz est assez simple (A priori) : prenez un nombre quelconque dans l’ensemble des entiers naturels non nuls , ensuite faites le raisonnement suivant :
--> Si ce nombre est pair, alors on le divise par 2
--> Sinon (donc s’il est impaire), on le multiple par 3 et on ajoute 1 au résultat de la multiplication .
On répète les opérations avec les valeurs qu’on obtient. On obtient alors une suite de nombres nommée Suite de Syracuse

Exemple : On prend le nombre 17
Il est impair on le multiplie donc par 3 et on ajoute 1, soit :
17×3+1 =52,
52 est un nombre paire (divisible par 2). On applique la première règle
52÷2=26
26 est un nombre paire (divisible par 2). On applique la première règle
26÷2=13
13 est un nombre impaire (non divisible par 2). On applique la seconde règle :
13×3+1=40
…
On obtient finalement la suite S(n) d’éléments :
17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,…
On se retrouve finalement avec un cycle dit « Triviale » composée des chiffres : 1,4 et 2
La conjecture de Syracuse énonce qu’en prenant n’importe quel nombre de l’ensemble on obtient toujours ce cycle dit Triviale, autrement dit, prenez n’importe quel entier naturel, appliquer le raisonnement précédent et vous tomberez toujours sur le chiffre 1.
Mais malgré la simplicité de cet énoncé, la conjecture de Syracuse a mise à l’épreuve de Brillants mathématicien. Aujourd’hui elle est évaluée à 1 million de dollars, c’est pas rien pour une hypothèse qui paraît aussi évidente.
On défini la suite de Syracuse comme une de manière récurrente, c’est-à-dire comme d’une suite dont la valeur des éléments dépend d’une valeur initiale, soit le nombre que l’on a en entrée de fonction :


Avec u0=N, la valeur initiale

Je vous propose à présent de coder ce résultat dans le langage de Programmation Matlab, que j’affectionne particulièrement pour sa grande souplesse.

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%Auteur : Charles Morpheus

%Fichier :Syracuse_for_testit.m

%

% ======================

% |Conjecture de Syracuse|

% ======================

%==========================================================================

% Ce programme permet de tester la conjecture de Syracuse dans un certain

% intervalle qu'il est nécessaire de spécifier dès le début du programme...

%==========================================================================

clc; %% On supprime tout ce qui est à l'écran

disp('Nous allons vérifier la conjecture de Syracuse')

a=input('borne inférieure : ');

b=input('borne supérieure : ');

disp('=============================================')

for n=a:b

disp(['TEST DU NOMBRE ' int2str(n)]) %% On Affiche la valeur du "n"

while true %% correspondant à chaque fois

if n==1

disp('---> OK !')

break

else

if mod(n,2)==0 %% n est pair

n=n/2;

else

n=3*n+1; %% n est impair

end

end

end

end

disp(['La conjecture de Syracuse est donc vraie pour les nombres de ' int2str(a) ' à ' int2str(b)])

Un imprime-écran du résultat à l’exécution (en appuyant sur F5 à partir du source)


Voici un bon site pour tester cette conjecture directement en ligne :
Algorithme de Collatz